К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве L2(Bn)

Аннотация

А.Г. Данекянц

Дата поступления статьи: 30.10.2013

Статья посвящена многомерным интегральным операторам с однородными ядрами и осциллирующими коэффициентами специального вида. Изучаются операторы, представляющие собой сумму слагаемых: канонический интегральный оператор с однородным ядром, оператор с осциллирующим коэффициентом и однородным ядром. Для данных операторов определено понятие символа, в терминах которого получен критерий нетеровности и формула вычисления индекса. Решение поставленной задачи основано на редукции многомерного интегрального уравнения к бесконечной диагональной системе одномерных уравнений.

Ключевые слова: Интегральные операторы с однородными ядрами, интегральные операторы с осциллирующими коэффициентами, критереий нетеровости, многомерные интегральные уравнения

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

05.23.18 - Подземное строительство

В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам c однородными степени (-n) ядрами (см., например, [1-4], [7-8]). Для таких операторов получены необходимые и достаточные условия нетеровости и обратимости, описаны банаховы алгебры, порожденные этими операторами, найдены критерии применимости проекционного метода, интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами ([2], [3]). В данной статье рассматриваются операторы с радикальными осциллирующими коэффициентами вида . Подчеркнем, что операторы с однородными ядрами и радикальными (по крайней мере в окрестности точки x=0) коэффициентами находят применение в некоторых задачах математической физики. В работе используются следующие обозначения:; -площадь сферы;

В пространстве  рассмотрим оператор (1)
, где , а функция  удовлетворяет следующим условиям:
1) однородность степени (-n), то есть ;
2) инвариантность относительно группы вращений , то есть ;
3) суммируемость, то есть
Рассмотрим в  интегральный оператор (2) , ,ядро которого удовлетворяет условию (1).
Оператору  сопоставим оператор , который определим формулой , (3)              
где - оператор вида (2) с ядром . Здесь и ниже мы отожествляем функции  и  с операторами умножения на эти функции. Рассмотрим разность . Имеем . Так как , то оператор  является компактным в  Следовательно, T-компактный оператор. Поскольку , то оператор  нетёров тогда и только тогда, когда нетёров оператор , причем .
Приступим к исследованию оператора . В пространстве  рассмотрим уравнение, порожденное этим оператором:
.    (4)  
Поскольку функции  удовлетворяют условию (2), то существуют такие функции , что . Учитывая это, и переходя в последнем соотношении к сферическим координатам ,  получим
          (5) ,

(6)

Функция  удовлетворяет следующему условию суммируемости
(7)
Умножая обе части уравнения (5) на сферические гармоники , интегрируя по единой сфере, и применяя формулу Функа-Гекке, получим следующую бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений (8)
где, а - размерность пространства сферических гармоник порядка m.

 
 (9),

при этом - многочлены Лежандра.
В пространстве  рассмотрим оператор , формирующий левую часть уравнения (8)
.
Лемма 1. Пусть . Тогда существует число  такое, что оператор обратим для всех .
Доказательство. В пространстве  рассмотрим оператор , где .  По теореме Харди-Литтлвуда справедлива оценка     (10).
Из равенства (9) и свойств многочленов Лежандра следует, что  при для почти всех . Тогда, используя мажоратную теорему Лебега с учетом оценки (7), получаем, что интеграл в неравенстве (10) стремится к нулю при .Следовательно, . Поэтому существует число  такое, что  для всех . Значит, оператор  обратим для всех   Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть  и - число, указанное в лемме 1. Оператор вида (1) нётеров в пространстве  тогда и только тогда, когда нётеровы в пространстве  все операторы , причем   (11)   

Литература:

1. Авсянкин О.Г. О С* - алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига [Текст] // Докл. РАН. 2008. Т.419. №6. С.727-728
2. Авсянкин О.Г. О С* -алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида |x^|ia[Текст] // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2008.№5. С. 10-14.
3. Авсянкин О.Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радикальными коэффициентами [Текст]  // Дифференц. уравнения. 2007. Т.43. №9. С. 1193-1196.
4. Авсянкин О.Г., Карапетянц Н.К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (-n) ядрами [Текст] //Докл. РАН. 1999. Т.368. С. 727-729
5. Павлов И.В., Скориков А.В. Lp со смешанной нормой на бесконечномерном торе [Текст] //Изв. вузов. Матем. 1986. №2. С 69-72.
6. Павлов И.В. О крайних лучах и интегральном представлении в конусе супермартингалов [Текст]  //ТВП. 25:3(1980). С. 602-605
7. Karapetians N., Samko S. Equations with involute operators// Boston, Basel, Berlin: Birkhauser. 2001.427 p.
8. Avsyankin O.G., Karapetians N.K. Multidimensional integral operators with homogenous kernels [Текст] // J. Natur. Geometry. 16(1999).1-18p.
9. Михайлов Л.Г., Мухсинов А. Формула представления решений одного трехмерного немодельного сингулярного уравнения в частных производных [Текст] // Докл. РАН. 2010. Т.431. №1, С. 20-21.
10. Лаптев А.Г., Бородин Е.Н. Математическая модель процесса адсорбации при очистке сточных вод ТЭС от нефтепродуктов. [Электронный ресурс] //Инженерный вестник Дона. 2010. №4. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/261 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.
11. Кадомцев М.И., Ляпин А.А., Тимофеев С.И. К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт». [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2012. №1. – Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/719 (доступ свободный) – Загл. с экрана. – Яз. рус.