Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при начальной погиби стержня в виде S-образной кривой
Аннотация
Статья посвящена исследованию устойчивости полимерных стержней из эпоксидной смолы ЭДТ-10 с учетом начальных несовершенств и развития деформаций ползучести. Отличительной особенностью статьи является начальная погибь в виде S-образной кривой.
Ключевые слова: устойчивость стержней, ползучесть, высокоэластические деформации, полимерные материалы, уравнение связи Максвелла-Гуревича.Ключевые слова:
Полимерные материалы плотно входят в нашу жизнь не только привычными ограждающими, гидроизолирующими материалами, но и имеющими конструкционное предназначение. К ним можно отнести полимерные арматуру, тяжи для крепления навесных потолков и стен. Обладая прекрасными эксплуатационными качествами, такими как кислото- и щелочестойкость, временное сопротивление разрыву некоторых полимеров достигает 2000 МПа, эти материалыне лишены недостатков – для них характерно развитие деформаций ползучести, которая происходит не в фазе с прилагаемой нагрузкой и, соответственно, с напряжениями в теле.
Исследованию устойчивости стержней посвящено много литературы, к примеру, ставшей классикой [3].В свое время вопрос устойчивости полимерных стержней освящен в работах [1, 2]; из современных работ можно выделить работу [4]. Однако при исследовании устойчивости стержней авторы рассматривают выпучивание стержней только в одном направлении относительно оси, связывающей опоры стрежней.
В качестве уравнения связи для таких полимерных конструкций наиболее точно подходит обобщенное нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича, в дальнейших расчетах используемое в следующей форме:
 , |
(1) |
где 
; 
.
Здесь 
– деформации ползучести,
– модуль высокоэластичности, 
– модуль скорости, 
– коэффициент начальной релаксационной вязкости.
Для полимерных материалов высокоэластические деформации в общем случае представляют собой суммы отдельных составляющих, каждая из которых соответствует определенному члену спектра времен релаксаций
, 
При процессе ползучести до 1000 часов обычно преобладает первая составляющая высокоэластической деформации, так называемый старший спектр времен релаксации, т.е. s=1.
Как видно из выше представленных уравнений определяемые высокоэластические деформации находятся и в левой части уравнения (под оператором дифференцирования), и в правой части (в функции напряжений) 
. Всвязи с этим при использовании уравнения связи Максвелла-Гуревича возникают определенные трудности в применении таких программных комплексов, как ANSYS. Дальнейшее решение задач происходило в программном комплексе MatLab.
В практике стержни имеют некоторое искривление своей оси, также называемое «погибью», при этом сила обычно оказывается приложенной внецентренно (см. рис.1.). Подобного рода задачи в упругой постановке, однако, в случае закрепления «шарнир-шарнир», подробно рассмотрены в [1, 3].
Рассмотрим задачу, при которой стержень крепится по схеме «шарнир-шарнир», при этом его ось представлена в виде S-образной кривой (рис. 1). Здесь 
=
.
Рис.1. Расчетная схема задачи
При выводе основных уравнений используются следующие допущения и гипотезы:
1. Имеет место одноосное напряженное состояние (
).
2. Гипотеза плоских сечений.
3. Геометрическая линейность (
, где 
– кривизна стержня).
4. Форма сечения (рассматривается прямоугольное сечение).
Пусть стержень имеет некоторую начальную погибь
 , |
(2) |
где 
– начальная стрела прогиба.
Полную деформацию по оси стержня можно записать в виде
 . |
(3) |
С учетом гипотезы плоских сечений можно записать
 , |
(4) |
где 
– деформации средней оси стержня.
С учетом (3) и (4) можно записать
 . |
(5) |
Для любого сечения стержня могут быть записаны интегральные условия
 , |
(6) |
|
|
(7) |
,где 
.
Подставляя выражение (5) в (6) и проведя интегрирование, определяются осевые деформации стержня:
 . |
(8) |
Проводя аналогичные операции с выражениями (5) и (7):
 , |
(9) |
где 
– осевой момент инерции стержня относительно оси z.
С учетом того, что 
получаем окончательное разрешающее уравнение для оси стержня:
 . |
(10) |
Пусть 
, тогда
 . |
(11) |
Граничные условия задачи:
при  : ,  ;при  : ,  . |
(12) |
Для возможности задания граничных условий применительно к задаче, уравнение (11) дифференцируется дважды по x:
 . |
(13) |
Решение данного уравнения аналитически не представляется возможным даже в случае значительных упрощений, вследствие его структуры решение удобно произвести методом конечных разностей, интегрирование проводится методом Симпсона.
Для варианта закрепления «защемление-шарнир» граничные условия примут вид:
при  :  , ;при  :  ,  . |
(12) |
Для варианта закрепления «защемление-защемление» граничные условия примут вид:
при  :  ,  ; при  :  , . |
(12) |
Далее рассматриваются задачи ползучести стержня из эпоксидной смолы ЭДТ-10. При этом исходные данные для параметров ползучести взяты из работы [2]. Исходные данные: 
, 
, 
, 
,
,
, 
, 
, 
. Потеря устойчивости наступает через 1 час 32 мин.
Результаты расчетов представлены на рисунках 2÷3. Положительным напряжениям соответствует сжатие.
Как видно из графиков, в образце с течением времени ось стремится принять форму полусинусоиды.
Рис.2. Рост стрелы прогиба во времени в стержне
Рис.3. Рост напряжений в сечении стержня при x=l/2
Литература:
1. Андреев В.И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: дис. … канд. техн. наук. – М., 1967.
2. Бабич В.Ф. Исследование влияния температуры на механические характеристики полимеров: дис. … канд. техн. наук. – М., 1966.
3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1975.
4. Языев С.Б. Устойчивость стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств: дис. … канд. техн. наук. – Ростов-н/Д, 2010.